A Geometria Fractal, uma matemática dinâmica

Afirmam que o desenvolvimento científico do século XX passará à história, na memória do homem, por apenas três coisas: a teoria da relatividade, a mecânica quântica e a teoria do caos, considerada como a terceira grande revolução científica deste século.

Esta nova teoria afirma que toda a beleza da Natureza, com o seu enorme polimorfismo, não está sujeita a leis complexas, mas que provém de procedimentos muito simples ainda que, de tipo não linear. Por exemplo, a molécula da água é simplicíssima mas se for congelada e se unir a outras moléculas dá origem a complexas formas de cristais de neve. E nenhum cristal é exactamente igual a outro.

Cristais de neve
Cristais de neve.

Agora sabemos que tudo na Natureza se comporta de um modo não linear; até há muito pouco tempo não tínhamos a possibilidade de um método matemático para estudar este facto. A nossa matemática era linear, estática. A geometria fractal obedece a uma matemática dinâmica, do movimento, do constante fluir, à maneira do pré-socrático Heráclito.

A consciencialização científica do caos começou com as experiências de Edward Lorenz, na década de 60, sobre as variações climáticas da Terra. Assim descobriu o chamado “fenómeno da borboleta”, segundo o qual o suave voo de uma borboleta na China pode influenciar o clima dos Estados Unidos provocando furacões. Este estranho fenómeno mostra-nos que todo o sistema dinâmico tem uma grande sensibilidade e dependência relativamente às condições iniciais. Esta sensibilidade e dependência inicial é responsável pela aparição do caos em qualquer momento. Esta descoberta faz eco do refrão popular que diz: “Por um cravo perdeu-se a ferradura. Por uma ferradura perdeu-se um cavalo. Por um cavalo perdeu-se um cavaleiro. Por um cavaleiro perdeu-se a batalha. Por uma batalha perdeu-se o império”.

O ensinamento filosófico do karma é um exemplo que pode ajustar-se a este modelo. Muitos pequenos detalhes, na cadeia de causas e efeitos, podem provocar resultados imensamente complexos, aparentemente fortuitos, imprevisíveis e caóticos. No entanto, agora já sabemos que existe também uma super-ordem dentro do caos, e o aparente caos e casualidade na vida e na história obedece a causas e leis de um nível superior, dinâmico e não linear.

Foi, no entanto, o físico americano Mitchel Feigenbaum, um romântico que busca a sua inspiração em Goethe e em Gustav Mahler, quem fez a grande descoberta: a que se chamou a lei da Universalidade. Em meados da década de 70 descobriu o modo concreto em que uma conduta regular num sistema passa a converter-se em conduta caótica. Observou uma classe de passagem da ordem ao caos, que ocorria num modelo matemático concreto, e questionou-se se esta mesma passagem, com os mesmos ritmos de mudança, sucederia também o mesmo noutros modelos. Assim, viu que das diferentes equações matemáticas, das quais ninguém esperaria que saíssem os mesmos números, no entanto, saíam. O número universal de Feigenbaum é um novo número transcendental (como o número áureo, ou o número dos logaritmos neperianos), que permite compreender o caos. O seu valor é 4,6692016090, com infinitos decimais mais. A universidade expressa uma lei natural dos sistemas na sua passagem da ordem ao caos; é válida qualitativa e quantitativamente, não apenas para as formas naturais, mas também para os números exactos. O caos e o acaso são a expressão de uma lei matemática desconhecida até agora, de uma super-ordem de carácter universal, válido para qualquer ser ou sistema em comportamento dinâmico. A universalidade significa que sistemas diferentes comportam-se do mesmo modo, ou dito de outra forma, é o princípio hermético de “Como é em cima é em baixo, como é em baixo é em cima”.

Mitchell Feigenbaum no Instituto Niels Bohr, 2006.
Mitchell Feigenbaum no Instituto Niels Bohr, 2006.

Os sistemas dinâmicos caóticos não respondiam, no entanto, a nenhum modelo geométrico conhecido capaz de descrevê-los. Era necessário uma nova geometria capaz de explicar-nos por que é que a conduta caótica da Natureza, as suas formas informais e dinâmicas, nos parecem formosas e estéticas; explicar-nos a estética natural, com as suas leis e causas, dos esquemas caóticos das nuvens, das montanhas, dos relâmpagos, dos rios, das ramificações arbóreas, que não parecem obedecer a nenhuma ordem estabelecida, a nenhum modelo geométrico “lógico” e não casual.

Benoit Mandelbrot.
Benoit Mandelbrot.

A geometria fractal, desenvolvida pelo matemático americano Benoit Mandelbrot nos anos 70, veio cobrir esse vazio. O conteúdo desta nova geometria são os chamados objectos fractais, cuja característica principal é a auto-semelhança; ou seja, que cada uma das suas partes, em diferentes escalas de magnitude, é semelhante ao conjunto total. O objecto repete-se, “reproduz-se” a si mesmo nas suas partes, em qualquer escala em que seja considerado. Os objectos fractais são, assim, seres vivos, com capacidade de autorreprodução no infinitamente grande e no infinitamente pequeno. Trata-se pois, da encarnação científica actual do princípio hermético da analogia “Como é em cima é em baixo, como é em baixo é em cima”, que já mencionámos anteriormente.

Fractal de imagens geradas por computador.
Fractal de imagens geradas por computador.

 

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